1999年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题参考答案及评分标准(理工类)

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给了一种或几种解法供参考，如果考生的解法

与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难，

可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分解答应得分数的一半；如果后继部分的解

答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。


一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算。第（1）－第（10）题每小题4分，第（11）－（14）

题每小题5分，满分60分。

　　（1） C （2〕A （3〕A （4） C （5）B

　　（6）B （7）D （8） A （9）C （10）D

　　（11）B （12）D （13）D （14）C

二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分

　　（15）1/2

　　（16）12

　　（17）[9,+∞]

　　（18）m⊥a, n⊥β, a⊥β==>m⊥n 或m⊥n, m⊥a, m⊥β==>a⊥β

三．解答题

　　（19）本小题主要考查对数函数的性质，对数不等式、无理不等式解法等基础知识，考查分类

论的思想，满分10分

解：原不等式等价于

——一一一一4
由①得 log_ax≥2/3
由②得 log_ax<3/4, 或log_ax>1,
由③得 log_ax>1/2.
由此得 2/3≤log_ax<3/4,或log_ax>1.——一一一一8分
当a>1时得所求的解是 {x|≤x<}U{x|x>a};

当0<a<1时得所求的解集是：
{x|<x≤}U{x|0<x<a}.——一一一一10分

（20）本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数

学知识解决问题的能力，满分12分。

解：由0＜ θ＜π/ 2 得tgθ ＞0。

由z=3cosθ+i·2sinθ,得0＜argz＜π/2及tg(argz)=2sinθ/3cosθ=2/3tgθ.

故tgy=tg(θ-argz)=(tgθ-2/3tgθ)/(1+2/3tg²θ)

　　　　=1/(3/tgθ+2tgθ)

∵3/tgθ+2tgθ≥2

∴1/(3/tgθ+2tgθ)≤/12.

当且仅当3/tgθ=2tgθ(0<θ<π/2时，即tgθ=/2时，上式取等号。

所以当θ=arctg/2时，函数tgy取最大值/12。

由y=-argθz得y ∈(- π/2,π/2).由于在（-π/2, π/2)内因正切函数是递增函数，函数y也

取最大值arctg/12. 12分


　( 21）本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念
思维能力、空间想象能力及运算能力。满分12分。
　　　　（1）解：如图，连结DB交AC于O，连结EO。

∵底面ABCD是正方形 　　　　∴DO⊥AC。 　　　又∵ED⊥底面AC， 　　　　∴EO⊥AC。 　　　　∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角， －－－－2分 　　　　∴ ∠EOD＝45°。 　　　　DO＝(2)1/2/2a, AC=(2)1/2a, Eo=[(2)1/2a·sec45°]/2=a. 　故 S△EAC=(2)1/2×a2/2 4分

　（II）解：由题设ABCD－A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，得A₁A⊥底面AC， A₁A⊥AC。

　　　　　　又 A₁A⊥A₁B₁，

　　　　　　∴A₁A是异面直线A₁B₁与AC间的公垂线。 －－－－6分

　　　　　　∵D₁B∥面EAC，且面D₁BD与面EAC交线为EO，

　　　　　　∴ D₁B∥EO。

　　　　　　又 O是DB的中点，

　　　　　　∴E是D₁D的中点， D₁B＝2ED＝2a。

　　　　　　异面直线A₁B₁与AC间的距离为(2)^1/2a。 －－－－8分

　(III)解法一：如图，连结D₁B₁。

　　　　　　　∵D₁D＝DB＝(2)^1/2a，

　　　　　　　∴BDD₁B₁是正方形。

　　　　　　　连结B₁D交D₁B于P，交EO于Q。

　　　　　　　∵B₁D⊥D₁B。 EO∥D₁B，

　　　　　　　∴B₁D⊥EO

　　　　　　　又 AC⊥EO， AC⊥ED，

　　　　　　　∴AC⊥面BDD₁B₁

　　　　　　　∴B₁D⊥AC

　　　　　　　∴B₁D⊥面EAC。

　　　　　　　∴B₁Q是三棱锥B₁－EAC的高。 －－－－10分

　　　　　　　由DQ＝PQ，得B₁Q＝3B₁D/4＝3a/2。

　　　　　　　∴V_B1－EAC＝(1/3)·[(2)^1/2a²/2]·(3/20=(2)^1/2·a³/4.

　　　　　　　所以三棱锥了－EAC的体积是(2)^1/2·a³/4. －－－－12分


解法二：连结B₁O，则VB₁－EAC＝2VA－EOB₁。

∵AO⊥面BDD1B1， 　　∴AO是三棱锥A－EOB1的高，AO＝(2)1/2·a/2 　　在正方形BDD1B1中，E、O分别是D1D、DB的中点（如右图）， 　　则S△EOB1=3a2/4. 　　∴VB1-EAC=2×(1/30×(3a2/4)×[(2)1/2a/2}=(2)1/2·a3/4. 　　所以三棱锥B1－EAC的体积是(2)1/2·a3/4.－－－－12分。

（22）本小题主要考查等比数列，对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决实际问题

　　　的能力，满分14分。

　　（I）解：厚度为a的带钢经过减薄率均为ro的n对轧辊后厚度为a(1-ro)n.

　　　　　　为使出带钢的厚度不超过β，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足

　　　　　　a(1-r_o)ⁿ≤β，

　　　　　　即 (1-r_o)ⁿ≤β/a 　－－－－4分

　　　　　　由于(1-r_o)ⁿ>O, β/a>0,对上式两端取对数，得

　　　　　　nlg(l-r_o)≤lg(β/a).

　　　　　　由于lg(1-r_o)<0,

　　　　　　所以n≥(lgβ-lga)/[lg(1-r_o)].

　　　　　　因此，至少需要安装不小于(lgβ-lga)/[lg(1-r_o)]的整数对轧辊 －－－－7分

　（II）解法一：第k对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积为

　　　　　　　　1600a×(1-r)^k×宽度 （其中r＝20％），

　　　　　　　　而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为

　　　　　　　　L_k×a(1-r)⁴×宽度。

　　　　　　　　因宽度相等，且无损耗，由体积相等得

　　　　　　　　1600·a(1-r)^k=L_k·a(1-k)⁴(r=20%),

　　　　　　　　即 L_k=1600·0.8^K-4. －－－－10分

　　　　　　　　由此得 l₃=2000(mm),

　　　　　　　　　　　 l₂=2500(mm),

　　　　　　　　　　　 l₁=3125mm)

　　　填表如下：

轧辊序号K	1	2	3	4
疵点间距LK（mm）	3125	2500	2000	1600

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－－－－14分

解法二：第3对轧辊出口疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点

　　　　间带钢体积相等，因宽度不变，有：

　　　　1600=L₃·(1-0.2),

　　　　所以 L₃=1600/0.8=2000(mm). －－－－10分

　　　　同理 L₂=L₃/0.8=2500(mm).

　　　　　　  L₁=L₂/0.8=3125(mm).

　　　　填表如下：


轧辊序号K	1	2	3	4
疵点间距LK（mm）	3125	2500	2000	1600

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－－－－14分



( 23）本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综

合的能力。满分14分。

（1）解：依题意f(0) =0，又由f(x₁)=1, 当0≤y≤1时，，函数y＝f(x)的图象是斜

率为b⁰=1的线段，故由

f(x₁)-f(0)/x₁-0=1 得x₁=1 2分

又由f(x₂)=2,当1≤y＜2时，函数y=f(x)的图象是斜率为B的线段，故由

f(x₂)-f(x₁)/X₂-X₁=b 即x₂=1+1/b．2分

记x₀=0,由函数y=f(x)图象中第n段线段的斜率为b^n-1，故得

f(x_n) -f(x_n-1)/x_n-x_n-1=b^n-1,

又f(x_n)=n,f(x_n-1)=n一1；

∴x_n-x_n-1 =(1/b)^n-1,n=1,2,…。

由此知数列{x_n-x_n-1}为等比数列，其首项为1/b，公比为1/b

因 b≠1，得

x_n=(x_K-X_K-1)

=1+1/b …+1/b_n-1=b-(1/b)^n-1，

即 x_n=b-(1/b)^n-1/(b-1).——一一6分

(II)解：当0≤y≤1，从（I）可知y＝x, 即当0≤x≤1时，f(x)=x

当n≤y≤n十1时，即当x_n≤x≤x_n+1时，由(I)可知

f(x)=n+bⁿ(x-x_n)(x_n≤x≤x_n+1,n=1,2,3…）——一一8分

为求函数f(x)的定义域，须对x_n=b-(1/b)^n-1/(b-1)(n=1,2,3…)进行讨论

当b＞1时,x_n= b-(1/b)^n-1/(b-1)=b/(b-1)

当0＜b＜1时，n→∞，x_n也趋向于无穷大。

综上，当b>1时，y=f(x)的定义域为[0,b/(b-1));

当0＜b＜1时，y＝f（x）的定义域为[0,+∞] ——一一10分


（24）本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合

　　　运用数学知识解决问题的能力。满分14分。

　　　解法一：依题意，记B（－1，b）（b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y＝0和y＝－bx，

　　　　　　　设点C（x,y），则有0≤x<a,由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等，根据点到直线

　　　　　　　的距离公式得

　　　　　　　　　|y|=|y+bx|/ ① －－－－4分

　　　　　　　依题设，点C在直线AB上，故有

　　　　　　　　　y=[-b/(1+a)](x-a). －－－－6分

　　　　　　　由 x-a≠0，得b=-(1+a)y/(x-a). ②

　　　　　　　将②式代入①式得

　　　　　　　　　y²[1+(1+a)²y²/(x-a)²]=[y-(1+a)xy/x-a]²,

　　　　　　　　整理得

　　　　　　　　　y²[(1-a)x²-2ax+(1+a)y²]=0. －－－－9分

　　　　　　　若y≠0，则(1-a)x²-2as+(1+a)y²=0(0<x<a);

　　　　　　　若y=0,则 b=0,∠AOB＝π，点C的坐标为（0，0），满足上式，

　　　　　　　综上得点C的轨迹方程为

　　　　　　　　　(1-a)a²-2ax+(1+A)y²=0(0≠x<a), －－－－10分

　　　　　　　∵a≠1,

　　　　　　　∴[x-a/(1-a)]²/[a/(1-a)]²+y²/[a²/(1-a²)]=1(0≤x<a). ③ －－－－12分

　　　　　　　由此知，当〔」「工时，方程③ 表示椭圆孤段；

　　　　　　　当a>1时，方程③ 表示双曲线一支的弧段。 －－－－14分

　　　解法二：如图，设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足。

　　　　　　（1）当|BD|≠0时，设点C（x,y），则0<x<a y≠0.

　　　　　　　　由CE∥BD得 |BD|=|CE|·|DA|/|EA|=|y|/a-x(1+a). －－－－3分

　　　　　　　∵∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD,

　　　　　　　∴2∠COA=π-∠BOD，

　　　　　　　∵ tg(2COA)=2tg∠COA/(1-tg²∠COA), tg(π-∠BOD)=-tg∠BOD,

　　　　　　　　　tg∠COA=|y|/x, tg∠BOD = ∠|BD|/|OD|=|y|/a-x(1+a).

　　　　　　　∴[2·|y|/x]/[1-(y²/x²)]=[|y|/(a-x)](1+a),

　　　　　　　整理得 (1-a)x²-2ax+(1+a)y²=0(0<x<a).

　　　　　　(II) 当|BD|=0时，∠BOA＝π，则点C的坐标为（0，0），满足上式。

　　　　　　综合（I）（II），得点C的轨迹方程为

　　　　　　　　（1-a)x²-2ax+(1+a)y²=0(0≤x<a) －－－－10分

　　　　　　　以下同解法一。