2003年普通高等学校春季招生考试

 数学试题（文史类）（北京卷）参考答案

一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.

　　1.A     　2.D    　3.D    　4.C    　5.C    　6.A    　7.B    　8.C     　9.A    　10.D    　11.B    　12.B

二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.

　　13．π       　14．       　15．（140）（85）　     16．   .

三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

　　17．本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力. 满分12分.

　　解：原不等式

 .

　　故原不等式的解集是 .

　　18．本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 满分12分.

　　解：由 .

    　　所以 的定义域为

    　　因为 的定义域关于原点对称，且

     是偶函数.

    　　又当

     ，

    　　所以 的值域为

　　19．本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 满分12分.

　　（Ⅰ）解： .

　　（Ⅱ）证明：记D₁C与DC₁的交点为O，连结OE.

　　  ∵O是CD₁的中点，E是BC的中点，

　　∴EO∥BD₁.

　　∵BD₁ 平面C₁DE，EO 平面C₁DE，

　　∴BD₁∥平面C₁DE.

  　　（Ⅲ）解：过C作CH⊥DE于H，连结C₁H.

　　在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，

　　C₁C⊥平面ABCD，

　　∴∠C₁H⊥DE，   ∴∠C₁HC是面C₁DE与面CDE所成二面角的平面角.

　　∵DC=2，CC₁=1，CE=1，  ∴ ，

　　∴   即面C₁DE与面CDE所成二面角的正切值为

　　20．本小题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力.满分12分.

　　解：设动点P的坐标为（x，y）.    由 .

　　化简得

　　当 ，整理得 .

　　当a=1时，化简得x=0.

　　所以当 时，P点的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆；

　　当a=1时，P点的轨迹为y轴.

　　21．本小题主要考查二次函数的基本知识，考查分析和解决问题的能力. 满分13分.

　　解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为 ，所以这时租出了88辆车.

 　　　（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为

 ，

　　整理得 .

　　所以，当x=4100时， 最大，最大值为 ，

　　即当每辆车的月租金定为4100元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为304200元.

　　22．本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分13分.

   　　（Ⅰ）证明：记r_n为圆O_n的半径，

　　　　则

　　　　所以

 故 成等比数列.

 　　（Ⅱ）解：因为

　　　所以