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2003年普通高等学校春季招生考试

数 学（理工农医类）（北京卷）

　　本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至8页.共150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

注意事项：

　1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.

　2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.

　3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回

　　 正棱台、圆台的侧面积公式



　　其中 、c分别表示上、下底面周长l表示斜高或母线长

　　球体的体积公式



　　其中R表示球的半径

参考公式：

三角函数的积化和差公式









一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

　1．若集合 （ 　）

　　A． 　　　　B．

　　C． 　　　　D．

　2．若 ，则方程 的根是 （ 　）

　　A．  　B．－  　C．2　　　 D．－2

　3．设复数 （ 　）

　　A．  B．  C．  D．－

　4．函数 的最大值是（　 ）

　　A．  B．  C． 　　D．

　5．在同一坐标系中，方程 的曲线大致是（　 ）

　6．若A，B，C是△ABC的三个内角，且 ，则下列结论中正确的是
（　 ）

　　A． 　　B．

　　C． 　　　D．

　7．椭圆 为参数）的焦点坐标为（ 　）

　　A．（0，0），（0，－8）　　 B．（0，0），（－8，0）

　　C．（0，0），（0，8）　　　 D．（0，0），（8，0）

　8．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点， G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC 沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度 数为（　 ）

　　A．90°　　　 B．60°

　　C．45°　　　 D．0°

　9．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（　 ）

　　A．42　　 B．30　　 C．20　　 D．12

　10．已知直线 相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c| 的三角形（ ）

　　A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．不存在

　11．若不等式 的解集为（－1，2），则实数a等于（　 ）

　　A．8　　　 B．2　　　C．－4　　　 D．－8

　12．在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为 则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（　 ）

　　A．95　　　 B．91　　 　C．88　　　D．75

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2003年普通高等学校春季招生考试

数 学（理工农医类）（北京卷）

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

注意事项：

　1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.

　2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

　13．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁
球，水面高度恰好升高r，则 .

　14．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内.

年龄（岁）	30 35 40 45 50 55 60 65
收缩压（水银柱 毫米）	110 115 120 125 130 135 （ ）145
舒张压（水银柱 毫米）	70 73 75 78 80 83 （ ）88

　5．如图，F₁，F₂分别为椭圆 的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF₂是面积为 的正三角形，则b²的值是__________．

　16．若存在常数 ，使得函数 的一个正周期为 .

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

　17．（本小题满分12分）

　　解不等式：

 

　18．（本小题满分12分）

　　已知函数 的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.

 

　19．（本小题满分12分）

　　如图，正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面边长为 ，侧棱长为4.E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G.

　（Ⅰ）求证：平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁；

　（Ⅱ）求点D₁到平面B₁EF的距离d；

　（Ⅲ）求三棱锥B₁—EFD₁的体积V.

　20．（本小题满分12分）

　　某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.

　（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

　（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

　21．（本小题满分13分）

　　如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O₁为△ABC的内切圆，圆O₂与圆O₁外切，且与AB，BC相切，…，圆O_n+1与圆O_n外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去. 记圆O_n的面积为 .

　（Ⅰ）证明 是等比数列；

　（Ⅱ）求 的值.

　22．（本小题满分13分）

　　已知动圆过定点P（1，0），且与定直线 相切，点C在l上.

　（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；

　（Ⅱ）设过点P，且斜率为－ 的直线与曲线M相交于A，B两点.

　　（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；

　　（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.

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数学试题（理工农医类）（北京卷）参考答案

一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.

　　1.C 2.A 3.C 4.D 5.D 6.A 7.D 8.B 9.A 10.B 11.C 12.B

二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.

　　13． 14．（140）（85） 15．

　　16． 注：填 的正整数倍中的任何一个都正确.

三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

　　17．本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力. 满分12分.

　　解：原不等式变形为 .所以，原不等式

 .

　　故原不等式的解集为 .

　　18．本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 满分12分.

　　解：由 .

　　所以 的定义域为

　　因为 的定义域关于原点对称，且

 是偶函数.

　　当

 ，

　　所以 的值域为

　　19．本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 满分12分.

　（Ⅰ）证法一：

　　连结AC.

　　∵正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面是正方形，

　　∴AC⊥BD，又AC⊥D₁D，故AC⊥平面BDD₁B₁.

　　∵E，F分别为AB，BC的中点，故EF∥AC，

　　∴EF⊥平面BDD₁B₁，

　　∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁.

　证法二：

　　∵BE=BF，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF⊥BD. 又 EF⊥D₁D

　　∴EF⊥平面BDD₁B₁， ∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁.

　（Ⅱ）在对角面BDD₁B₁中，作D₁H⊥B₁G，垂足为H.

　　∵平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁，且平面B₁EF∩平面BDD₁B₁=B₁G，

　　∴D₁H⊥平面B₁EF，且垂足为H，∴点D₁到平面B₁EF的距离d=D₁H.

　解法一：

　　在Rt△D₁HB₁中，D₁H=D₁B₁·sin∠D₁B₁H.

　　∵ ，



　　∴

　解法二：

　　∵△D₁HB₁～△B₁BG， ∴ ， ∴

　解法三：

　　连结D₁G，则三角形D₁GB₁的面积等于正方形DBB₁D₁面积的一半，

　　即 ，

　（Ⅲ）

　　20．本小题主要考查二次函数的性质等基本知识，考查分析和解决问题的能力. 满分12分.

　　解：
　（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为 ，所以这时租出了88辆车.

　（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为

 ，

　　整理得 .

　　所以，当x=4050时， 最大，最大值为 ，

　　即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元.

　　21．本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分13分.

　（Ⅰ）证明：记r_n为圆O_n的半径，则



　　所以

 故 成等比数列.

　　（Ⅱ）解：因为 所以

　　22．本小题主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力. 满分13分.

　　解：（Ⅰ）依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为 .
　　（Ⅱ）（i）由题意得，直线AB的方程为 消y得



　　所以A点坐标为 ，B点坐标为（3， ），

　　假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即



　　由①－②得



　　但 不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.

　　因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.

　　（ii）解法一：

　　设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，

　　由 ，

　　即当点C的坐标为（－1， ₂ ）时，A，B，C三点共线，故 .

　　又 ，

 ， .

　　当 ，即 ，

　　即 为钝角.

　　当 ，即 ，

　　即 为钝角.

　　又 ，即 ，

　　即 . 该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.

　　因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是  .

　解法二：

　　以AB为直径的圆的方程为 .

　　圆心 到直线 的距离为 ，

　　所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G .

　　当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G

　　点不重合，且A，B，C三点不共线时， ∠ACB为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角.

　　因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角.

　　过点A且与AB垂直的直线方程为 .

　　过点B且与AB垂直的直线方程为 . 令 .

　　又由 ，所以，当点C的坐标为（－1，₂ ）时，A，B，C三点共线，不构成三角形.

　　因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是